Die Multiplikation mit dem Stschoty, dem russischen Abakus

Die Multiplikation ist etwas umfassender als die Addition oder die Subtraktion, wobei es sich teilweise um eine mehrfache Addition handelt. Als Voraussetzung für die Multiplikation sollten die Strichrechnungen schon beherrscht werden. Es gibt gerade bei der Multiplikation verschiedene Lösungsmöglichkeiten auf dem Stschoty. Die hier aufgezeigten Rechenwege, sollen immer die schnellste und praktikabelste Möglichkeit darstellen und entsprechen dem, was bis zu Beginn der 1990er Jahre in den Schulen und Ausbildungszentren der früheren Sowjetunion gelehrt und unterrichtet wurde.

1. Multiplikation mit den Zehnerpotenzen z.B. 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1.000 usw.

Für die Multiplikation mit den Zehnerpotenzen werden normalerweise entweder die entsprechenden Nullen angehangen oder das Komma nach rechts verschoben. Wenn man nur mit den Zehnerpotenzen rechnet, wird man in der Praxis keinen Stschoty zur Hilfe nehmen. In unserem Fall ist es aber notwendig, die Vorgehensweise am Stschoty zu erlernen, da sie ein Teil der Multiplikation mit anderen Zahlen sein kann.

Beispielrechnung 376 x 100 = 37.600

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (1. Faktor), in diesem Fall die 376, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Da unserer 2. Faktor die 100 ist,müssen wir unsere Zahl um 2 Reihen (die Anzahl der Nullen) nach oben verschieben. Wir beginnen dieses Verschieben immer mit der Ziffer, in welche Richtung wir verschieben wollen. Da wir nach oben verschieben wollen ist das die 3. Wir verschieben zwei Reihen über der jetzige Position 3 Kugeln nach links und unmittelbar danach die bisherige 3 zurück nach rechts.
	Diesen Vorgang wiederholen wir nun mit der nächsten Ziffer, in unserem Fall ist das die 7. Wir verschieben 2 Reihen über der jetzigen Position 7 Kugeln nach links und die bisherige 7 zurück nach rechts.
	Als letztes verschieben wir unsere letzte Ziffer, das ist die 6, um 2 Reihen nach oben und die Kugeln in der bisherigen Reihe zurück nach rechts.
	Nun bleibt uns nur noch das Ergebnis abzulesen. In diesem Fall ist es 37.600

Beispielrechnung 57,3 x 0,01 = 0,573

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (1. Faktor), in diesem Fall die 57,3, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Da unserer 2. Faktor die 0,01 ist, müssen wir unsere Zahl um 2 Reihen nach unten verschieben. Wir beginnen dieses Verschieben immer mit der Ziffer, in welche Richtung wir verschieben wollen. Da wir nach unten verschieben wollen ist das die 3. Wir verschieben zwei Reihen unter der jetzigen Position 3 Kugeln nach links und unmittelbar danach die bisherige 3 zurück nach rechts.
	Diesen Vorgang wiederholen wir nun mit der nächsten Ziffer, in unserem Fall ist das die 7. Wir verschieben 2 Reihen unter der jetzigen Position (die Reihe mit den 4 Kugeln zählen wir nicht mit) 7 Kugeln nach links und die bisherige 7 zurück nach rechts.
	Als letztes verschieben wir unsere letzte Ziffer, das ist die 5, um 2 Reihen nach unten (auch hier wird die Reihe mit den 4 Kugeln nicht mitgezählt) und die Kugeln in der bisherigen Reihe zurück nach rechts.
	Nun bleibt uns nur noch das Ergebnis abzulesen. In diesem Fall ist es 0,573

Division mit der 2 als Divisor

Bevor wir mit der Multiplikation mit einstelligen Zahlen weiter gehen können, müssen wir uns zunächst mit den Regeln der Division, mit der 2 als Divisor, vertraut machen. Dabei gibt es die Besonderheit, daß die Division mit der 2 von unten nach oben durchgeführt wird, obwohl die Division ansonsten, wie z.B. die Addition, von oben nach unten gerechnet wird. Wir unterscheiden bei der Division mit 2 als Divisor, die Division von geraden und von ungeraden Zahlen und Ziffern.

1. Division mit der 2 als Divisor bei geraden Zahlen und Ziffern

Beispielrechnung 46 : 2 = 23

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Dividend), in diesem Fall die 46, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Für die Division mit der 2 schieben wir nur auf jeder Reihe die Hälfte der Kugeln zurück und beginnen unten. In diesem Fall schieben wir auf der Einer Reihe 3 Kugeln zurück nach rechts.
	Danach machen wir das Gleiche eine Reihe höher mit der Zehner Reihe und schieben die Hälfte der Kugeln, hier ist das 2 zurück auf die rechte Seite.
	Nun bleibt uns nur noch das Ergebnis abzulesen. In diesem Fall ist es 23.

2. Division mit der 2 als Divisor bei ungeraden Zahlen und Ziffern

Beispielrechnung 759 : 2 = 379,5

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Dividend), in diesem Fall die 759, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Für die Division mit der 2 schieben wir nur auf jeder Reihe die Hälfte der Kugeln zurück und beginnen unten. Da es sich um eine 9 handelt und wir deshalb 4,5 Kugeln nachts schieben müssten, schieben wir in dem Fall einer ungeraden Zahl immer eine ganze Kugel für die Nachkommastelle nach rechts.
	Um die halbe zuviel geschobene Kugel wieder auszugleichen, schieben wir eine Reihe darunter die Hälfte der Kugeln, also immer 5, nach links. Da wir die Vierer Reihe übergehen ist das in unserem Fall die Reihe 03.
	Das gleiche machen wir eine Reihe höher, also mit der 5. Die Hälfte ist 2,5, wir verschieben also aufgerundete 3 Kugeln nach rechts.
	Um die Aufrundung wieder auszugleichen, schieben wir 5 Kugeln auf der darunter liegenden Reihe nach links.
	Als letzte Ziffer halbieren wir die 7, wir schieben 4 Kugeln nach rechts da die Hälfte 3,5 ist wir wieder auf ganze Kugeln aufrunden.
	Als Ausgleich für die aufgerundete halbe Kugel schieben wir wieder eine Reihe darunter 5 Kugeln nach links.
	Es bleibt uns nur noch das Ergebnis abzulesen und das lautet 379,5

Die einstellige Multiplikation mit den Zahlen 2 bis 9 Methode I

Für die Multiplikation Methode I dient die Addition als Grundlage und sie ist im Grunde auch nur eine wiederholende Addition des Multiplikanten, auch wenn es Regeln gibt, die diesen Prozess abkürzen.

1. Die Multiplikation mit der Zahl 2

In unserem Beispiel ist 424 x 2 = 424 + 424 und deshalb addieren wir unseren Multiplikator einfach dazu.

Beispielrechnung 424 x 2 = 848

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Im zweiten Schritt addieren wir einfach die gleiche Zahl noch einmal dazu, indem wir die gleiche Anzahl Kugeln in jeder Reihe noch einmal dazu schieben. Wir beginnen immer von oben. Wir könnten es auch Addition nennen, da 424 x 2 = 424 + 424 ist. Ich erspare mir in diesem Fall die Abbildung für jede einzelne Reihenverschiebung.
	Jetzt müssen wir das Ergebnis nur noch ablesen. In unserem Fall 848.

2. Die Multiplikation mit der Zahl 3

In unserem Beispiel ist 424 x 3 = 424 + 424 + 424 und deshalb addieren wir unseren Multiplikator einfach zweimal dazu.

Beispielrechnung 424 x 3 = 1.272

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Wir rechnen dann 424 + 424 + 424, da es das gleiche Ergebnis ist wie 424 x 3
	Im zweiten Schritt addieren wir einfach die gleiche Zahl noch einmal dazu, indem wir die gleiche Anzahl Kugeln in jeder Reihe noch einmal dazu schieben. Wir beginnen immer von oben.
	Als nächsten Schritt addieren wir die 424 einfach noch einmal dazu. Zur besseren Übersicht zeige ich die dritte Addition nochmal Schritt für Schritt auf. Wir wollen auf der Reihe 07 noch einmal 4 Kugeln dazuschieben, haben aber nur 2 und gleichen das mit einer Reihe höher aus,was ja bekanntlich den Wert 10 ergibt und müssen nun auf unserer Reihe die Differenz von 10 und 4, also 6 Kugeln nach rechts zurück schieben.
	Jetzt gehen wir zur nächsten Ziffer, das ist die 2 und wir addieren sie durch das Verschieben von 2 Kugeln nach links
	Nur noch unsere letzte Ziffer, das ist wieder eine 4, da nicht genug Kugeln vorhanden, verschieben wir eine Reihe höher mit dem Wert 10 eine Kugel nach links und gleichen das auf unserer Reihe durch das zurückschieben von 6 Kugeln wieder aus.
	Wir sind jetzt fertig und unser Ergebnis lautet 1.272

3. Die Multiplikation mit der Zahl 4

In unserem Beispiel ist 424 x 4 = (424 + 424) x 2 = (424 + 424) + (424 + 424) Wir rechnen also am schnellsten indem wir 424 verdoppeln und das Ergebnis dann nochmals verdoppeln. Damit kommen wir in zwei Rechenschritten zum Ergebnis

Beispielrechnung 424 x 4 = 1.696

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424, auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Wir rechnen dann 424 + 424 = 848 und danach 848 + 848 und haben dann in zwei Schritten unser Ergebnis.
	Als ersten Schritt addieren wir einfach die gleiche Zahl noch einmal dazu, indem wir die gleiche Anzahl Kugeln in jeder Reihe noch einmal dazu schieben. Wir beginnen immer von oben. Das Ergebnis ist 848
	Als nächsten Schritt addieren wir die 848 einfach noch einmal dazu. Zur besseren Übersicht zeige ich das nochmal Schritt für Schritt auf. Wir wollen auf der Reihe 07 noch einmal 8 Kugeln dazuschieben, haben aber nur 2 und gleichen das mit einer Reihe höher aus,was ja bekanntlich den Wert 10 ergibt und müssen nun auf unserer Reihe die Differenz von 10 und 8, also 2 Kugeln nach rechts zurück schieben.
	Jetzt gehen wir zur nächsten Ziffer, das ist die 4 und wir addieren sie durch das Verschieben von 4 Kugeln nach links auf der Reihe 06
	Nur noch unsere letzte Ziffer, das ist wieder eine 8, da nicht genug Kugeln vorhanden, verschieben wir eine Reihe höher mit dem Wert 10 eine Kugel nach links und gleichen das auf unserer Reihe durch das zurückschieben von 2 Kugeln wieder aus.
	Wir sind jetzt fertig und unser Ergebnis lautet 1.696

4. Die Multiplikation mit der Zahl 5

Die Multiplikation mit der 5 geht am schnellsten, wenn wir erst mit 10 multiplizieren und das Ergebnis dann halbieren.

Beispielrechnung 424 x 5 = 2.120

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Man kann auch diesen Schritt weglassen und die Zahl gleich eine Reihe höher positionieren. Aus didaktischen Gründen gehe ich Schritt für Schritt vor.
	Als ersten Schritt multiplizieren wir mit 10 indem wir, wie bereits vorher gelernt, unsere Zahl einfach eine Reihe nach oben verschieben.
	Als nächsten Schritt teilen wir unsere mit 10 multiplizierte Zahl, indem wir immer die Hälfte auf jeder Reihe nach rechts zurück schieben.
	Jetzt brauchen wir nur noch unser Ergebnis ablesen, in unserem Fall ist es 2.120

5. Die Multiplikation mit der Zahl 6

Die Multiplikation mit der 6 geht am schnellsten, indem wir es als Produkt 2 x 3 ansehen. Dazu wir müssen zuerst mit 3 multiplizieren, und dann das Ergebnis verdoppeln. In unserem Beispiel ist 424 x 3 = 424 + 424 + 424 = 1.272 und danach addieren wir die gleiche Zahl noch einmal dazu. Wir rechnen also 6 x 424 = (424 + 424 + 424) x 2 = 1.272 + 1.272

Beispielrechnung 424 x 6 = 2.544

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Im zweiten Schritt addieren wir einfach die gleiche Zahl noch einmal dazu, indem wir die gleiche Anzahl Kugeln in jeder Reihe noch einmal dazu schieben. Wir beginnen immer von oben.
	Als nächsten Schritt addieren wir die 424 einfach noch einmal dazu. Zur besseren Übersicht zeige ich die dritte Addition nochmal Schritt für Schritt auf. Wir wollen auf der Reihe 07 noch einmal 4 Kugeln dazuschieben, haben aber nur 2 und gleichen das mit einer Reihe höher aus,was ja bekanntlich den Wert 10 ergibt und müssen nun auf unserer Reihe die Differenz von 10 und 4, also 6 Kugeln nach rechts zurück schieben.
	Jetzt gehen wir zur nächsten Ziffer, das ist die 2 und wir addieren sie durch das Verschieben von 2 Kugeln nach links
	Nur noch unsere letzte Ziffer, das ist wieder eine 4, da nicht genug Kugeln vorhanden, verschieben wir eine Reihe höher mit dem Wert 10 eine Kugel nach links und gleichen das auf unserer Reihe durch das zurückschieben von 6 Kugeln wieder aus.
	Unser Zwischenergebnis lautet 1.272 und dieses wird im nächten Schritt nur noch verdoppelt.
	Zu unserem Zwischenergebnis von 1.272 zählen wir einfach noch einmal 1.272 dazu. Ich zeige das nicht mehr in den einzelnen Schritten sondern alles zusammen.
	Und nun können wir unser Ergebnis ablesen, was 2.544 lautet.

6. Die Multiplikation mit der Zahl 7, 8 und 9

Bei der Multiplikation mit der 7, 8 und 9 ist es nicht zweckmäßig die aufeinander folgende Addition zu verwenden. In diesen Fällen ist es besser, die Regel mit der 10er Multiplikation zu verwenden und den Multiplikant bei der 7 dann 3x bei der 8 dann 2x und der 9 dann 1x abzuziehen. Da es sich um schon einzeln gezeigte Rechenoperationen handelt, wird auf Beispiele an dieser Stelle verzichtet.

Die einstellige Multiplikation mit den Zahlen 2 bis 9 Methode II

Außer den oben beschriebenen Multiplikationsregeln kann auch eine weitere Methode angewendet werden. Diese Methode geht schneller, setzt aber das kleine Einmaleins im Kopf voraus. Bei dieser Methode wird der Multiplikant auf dem Stschoty dargestellt und wir merken uns den Multiplikator. Jetzt wird jede einzelne Ziffer des Multiplikanten, beginnend mit der ersten Ziffer und damit der oberen Reihe, im Kopf mit dem Multiplikator multipliziert. In der nachfolgenden Beispielrechnung 424 x 6 rechnen wir dann 4 x 6 und 2 x 6 und 4 x 6. Dabei wird bei zweistelligen Ergebnissen, die Ziffer, die den Zehnerwert darstellt eine Reihe über der Rechenreihe dazugeschoben und die Ziffer, die den Einerwert darstellt, auf der Rechenreihe eingestellt. Also die erste Ziffer dazugeschoben und die Zweite oder Einzige nur eingestellt!

Beispielrechnung 424 x 6 = 2.544

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Wir multiplizieren zuerst unsere obere 4 mit der 6 im Kopf und das ergibt 24. Wir schieben den Zehnerwert, in diesem Fall ist es die 2, eine Reihe über unserer Rechenreihe dazu. Auf unserer Rechenreihe stellen wir dann den Einerwert ein, in diesem Fall ist es die 4. Da es in diesem Fall der gleiche Wert ist, wie schon unsere Ausgangszahl, brauchen wir diesmal nichts verschieben, ich habe es trotzdem noch einmal makiert.
	Als nächsten Schritt multiplizieren wir unsere nächste Ziffer, in diesem Fall die 2, mit unserem Multiplikator, der 6. 2 x 6 = 12. Wir schieben die Zehnerziffer, in diesem Fall die 1, eine Reihe über unserer Rechenreihe dazu und stellen die 2 auf unserer Rechenreihe ein. Da auch hier die 2 mit dem Ausgangswert übereinstimmt, brauchen wir auf der Reichenreihe in diesem Fall nichts verschieben.
	Als letzten Rechenschritt müssen wir nur noch unsere 4 mit der 6 multplizieren, das sind 24. Wir schieben wieder die Zehnerziffer, in diesem Fall die 2 eine Reihe über der Rechenreihe dazu und stellen die 4 auf der Rechenreihe ein. Da wir hier auch schon eine 4 haben müssen wir eigentlich nichts einstellen.
	Und nun können wir unser Ergebnis ablesen, was 2.544 lautet.

Auch wenn diese Vorgehensweise mit allen Ziffern von 2-9 gleich ist, kommt noch ein weiteres Beispiel zur Verfestigung.

Beispielrechnung 7.782 x 7 = 54.474

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 7.782 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben.
	Wir multiplizieren zuerst unsere obere 7 auf der Reihe 08 mit der 7 im Kopf und das ergibt 49. Wir schieben den Zehnerwert, in diesem Fall ist es die 4, eine Reihe über unserer Rechenreihe, also Reihe 09, dazu. Auf unserer Rechenreihe 08 stellen wir dann den Einerwert ein, in diesem Fall ist es die 9.
	Als nächsten Schritt multiplizieren wir unsere nächste Ziffer, in diesem Fall wieder eine 7 auf der Reihe 07, mit unserem Multiplikator, der 7. Erneut ist das Ergebnis 49. Wir schieben die Zehnerziffer, in diesem Fall die 4, eine Reihe über unserer Rechenreihe dazu. In diesem Fall wäre es die Reihe 08, auf der aber nur noch eine Kugel ist. Wir gehen dadurch wie bekannt noch eine Reihe höher und schieben statt der gewollten 4 eine 10 und gleichen das auf unserer Reihe 08 mit dem zurückschiebn von 6 Kugeln wieder aus. Auf unserer Rechenreihe, das ist die 07 stellen wir eine 9 ein.
	Als nächsten Schritt multiplizieren wir unsere nächste Ziffer, in diesem Fall eine 8 auf der Reihe 06, mit unserem Multiplikator, der 7. Das Ergebnis ist 56. Wir schieben die Zehnerziffer, in diesem Fall die 5, eine Reihe über unserer Rechenreihe dazu. In diesem Fall wäre es die Reihe 07, auf der aber nur noch 1 Kugel ist. Wir gehen dadurch wie bekannt noch eine Reihe höher und schieben wie gewohnt eine 10 und gleichen das auf unserer Reihe 07 mit dem zurückschieben von 5 Kugeln wieder aus. Auf unserer Rechenreihe, das ist die Reihe 06 stellen wir eine 6 ein.
	Als letzten Schritt multiplizieren wir unsere letzte Ziffer, in diesem Fall eine 2 auf der Reihe 05, mit unserem Multiplikator, der 7. Das Ergebnis ist 14. Wir schieben die Zehnerziffer, in diesem Fall die 1, eine Reihe über unserer Rechenreihe dazu. In diesem Fall wäre es die Reihe 06 und auf unserer Rechenreihe stellen wir die 4 ein. Nun ist unsere Rechnung schon fertig.
	Und nun können wir unser Ergebnis ablesen, was 54.474 lautet.

Die Multiplikation der Zehner, Hunderter, Tausender... von 2-9 (20, 30, 40... 200, 300, 400, 500... 2.000, 3.000, 4.000...)

Diese Zahlen können wir z.B. auch als 20=10 x 2 oder 30=10 x 3 oder 200=100 x 2 oder 300=100 x 3 usw. darstellen. Wenn wir also als Beispiel 424 x 300 rechnen, dann gehen wir in folgender Weise vor. Wir rechnen im Kopf 424 x 100 indem wir die 424 gleich zwei Reihen höher einstellen (wie bei den Zehnerpotenzen beschrieben) und danach wird in vorher beschriebener Weise dann mit 3 multipliziert. Bei der Berechnung mit 0,03, 0,04 usw. verfahren wir genauso, nur daß wir, wie wir es bei der Multiplikation mit Zehnerpotenzen gelernt haben, die Zahlen nach unten einstellen und dann mit der Ziffer multiplizieren.

Die Multiplikation mit Zahlen, die aus gleichen Ziffern oder zusätzlich mit 0 bestehen (z.B. 222, 5.005, 5.555, 303, 3,33 usw.)

Als Beispiel nehmen wir 424 x 33. Unseren Multiplikator 33 können wir auch als 33 = 3 + 3x 10 darstellen. Also 424 x 33 = (424x3)+(424x3x10) Wenn wir das betrachten was in der zweiten Klammer steht, ist es das gleiche, wie in der ersten Klammer, nur 10 x größer. Praktisch bedeutet das, wir rechnen 424 x 3 = 1.272 und dann addieren wir das 10fache noch einmal dazu, indem wir es eine Reihe höher beginnend noch einmal dazuschieben.

Beispielrechnung 424 x 33 = 13.992

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Danach multiplizieren wir mit 3, wie wir es schon gelernt haben.
	Das Ergebnis 424 x 3 = 1.272, wie es hier abgebildet ist.
	Als nächsten Schritt schieben wir die 1.272 noch einmal dazu, beginnen aber eine Reihe höher, da wir damit das 10fache dazu addieren.
	Jetzt wird nur noch das Ergebnis 13.992 abgelesen.

 

Als nächstes Beispiel rechnen wir 424 x 444. Wir stellen 424 ein und multiplizieren mit 4, ergibt 1.696 (damit haben wir den Einer des Multiplikators). Jetzt schieben wir diese 1.696 beginnend eine Reihe höher noch einmal, wie im Rechenbeispiel davor, dazu (damit haben wir den Zehner des Multiplikators berechnet und dazu addiert) und als drittes schieben wir noch einmal die 1.696, noch eine Reihe höher beginnend dazu (damit haben wir den Hunderter des Multiplikators berechnet und dazu addiert) unser Ergebnis ist 188.256. Wir ersparen uns die Abbildungen, da es wie das vorhergehende Rechenbeispiel funktioniert nur mit einer zusätzlichen Addition.

Als nächtes Beispiel rechnen wir 424 x 505. Wir stellen die 424 auf unserem Stschoty ein und multiplizieren mit 5, das ergibt 2.120 (damit haben wir den Einer des Multiplikators). Da unsere nächste Ziffer eine Null ist, müssen wir für den Zehner nichts dazuzählen und lassen in diesem Fall das hinzuzählen eine Reihe höher aus und Zählen die 2.120 beginnend zwei Reihen über unseren Ergebnis noch einmal für den Hunderter dazu. Jetzt können wir das Ergebnis 214.120 ablesen.

Beispielrechnung 424 x 505 = 214.120

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Danach multiplizieren wir mit 5, wie wir es schon gelernt haben.
	Das Ergebnis 424 x 5 = 2.120 wie es hier abgebildet ist.
	Jetzt schieben wir den Zehner unseres Multiplikators, wieder eine Reihe höher beginnend dazu, das wäre in Reihe 09 beginnend. Da es sich in diesem Fall um eine Null handelt, verschieben wir hier aber nichts.
	Als nächsten Schritt schieben wir den Hunderter unseres Multiplikators dazu, indem wir die 2.120 wieder eine Reihe höher, das ist die Reihe 10, in diesem Fall 2 Reihen über unserem Einer des Multiplikators beginnend, dazuschieben.
	Jetzt wird nur noch das Ergebnis 214.120 abgelesen.

Beispielrechnung 424 x 6,6 = 2.798,4

	Als ersten Schritt stellen wir die erste Zahl (Multiplikant), in diesem Fall die 424 auf dem Stschoty ein, indem wir die Kugeln, wie auf der Abbildung nach links verschieben. Danach multiplizieren wir mit 6, wie wir es schon gelernt haben.
	Das Ergebnis 424 x 6 = 2.544 wie es hier abgebildet ist.
	Jetzt schieben wir die Nachkommastelle des Multiplikators hinzu. Da es sich um die Nachkommastelle handelt, beginnen wir eine Reihe Reihe tiefer und schieben die Zahlenfolge 2-5-4-4 dazu.
	Jetzt wird nur noch das Ergebnis 2.798,4 abgelesen.

Die Multiplikation mit Zahlen, die aus zwei Ziffern bestehen und deren Summe 9 ist.

z.B. 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 Bei der Multiplikation mit diesen Zahlen geht es am schnellsten, jede dieser Zahlen als Differenz anzusehen. Z.B 18=20-2; 27=30-3; 36=40-4; 45=50-5; 54= 60-6; 63=70-7; 72=80-8 und 81=90-9

Als Beispiel nehmen wir die Aufgabe 24,7x18 Dabei betrachten wir die 18 als 20-2. So haben wir 24,7 x 18= 24,7x (20-2) = (24,7 x 20)-(24,7x2) Daraus erkennen wir, daß das Ergebnis in der ersten Klammer 10 x größer ist als das Ergebnis in der zweiten Klammer. Das heißt, nachdem wir mit dem Stschoty das erste Ergebnis dargestellt haben, müssen wir dasselbe Ergebnis nur 10 Mal weniger subtrahieren. Die Zahl 24,7 stellen wir eine Reihe höher dar und verdoppeln. Damit haben wir die 24,7 mit 20 multipliziert. So haben wir das Zwischenergebnis 494 Die Reihenfolge der Ziffern sind 4-9-4 und diese Reihenfolge der Zahlen merken wir uns und müssen subtrahieren sie eine Reihe niedriger beginnend. So subtrahieren wir das Ergebnis in der zweiten Klammer oder 1 Zehntel des Ergebnis der ersten Klammer. So haben wir das Gesamtergebnis 444,6.

Als weiteres Beispiel nehmen wir 74,20 x 8,1 Da die Summer der Ziffer des Multiplikators, 8+1=9 ist, werden wir jetzt wieder den oben beschriebenen Trick anwenden. Wir multiplizieren die 74,20 nach der vorher beschriebenen Regel mit 9. (Also eine Reihe höher ansetzen und dann die Zahlenfolge 74,20 abziehen) So haben wir das Ergebnis 667,80 und dann substrahieren wir ein Zehntel dieses Produkts indem wir die Zahlenfolge 6-6-7-8 eine Zeile niedriger beginnend abziehen. So haben wir das Ergebnis 601,02. Um irgendwelche Zahlen, die aus zwei Ziffern bestehen und deren Summe 9 ist, müssen wir die Differenz zu 10 multiplizieren und dann ein Zehntel dieses Ergebnis Subtrahieren.

Die Multiplikation mit dreistelligen Zahlen, deren Summe der äußeren Ziffern 9 ist und die mittlere Ziffer auch 9 ist.

Im Prozess der Multiplikation können wir die Zahlen häufig antreffen. Um diese Multiplikation zu vereinfachen müssen wir folgende Tricks beachten. Betrachten wir diese dreistellige Zahlen als Differenz der zwei Zahlen z.B. 198= 200-2; 297=300-3; 396=400-4; 495=500-5; 594=600-6; 693=700-7; 792=800-8; 891=900-9 Als Beispielrechnung nehmen wir 41,7x198=41,7x(200-2=(41,7x200)-(41,7x2) Was in der ersten Klammer steht ist das Produkt der nächst höheren glatten Zahl. Der zweite Teil ist das Produkt er ersten Klammer aber um das Hundertfache weniger. Nachdem wir 41,7 mit 200 multipliziert haben und das Ergebnis 8340 ist, müssen wir dann aus diesem Produkt den Einhundertstel subtrahieren. Das ist in diesem Fall 83,4.
Wir beginnen am Stschoty auf der Reihe, wo die 4 dargestellt ist mit dem Abzug der Zifferfolge 8-3-4-0. Wir merken uns die Reihenfolge der Ziffern im Kopf. Das Ergebnis der Multiplikation von 41,7x198 ist 8256,6, .

Um im Prozess des Subtrahierens keine Fehler zu machen ist die Empfehlung, mit dem Zeigefinger der linken Hand auf dem Stschoty die Reihe zu markieren, auf der der Prozeß des Subtrahierens beginnt.

Als weiteres Beispiel nehmen wir 24,60x39,6 in diesem Beispiel ist der Multiplikator mit Kommastelle. Trotzdem werden wir die oben beschriebenen Regeln anwenden. Wenn, wie in diesem Beispiel die Summe der äußeren Ziffern 9 ist und die Ziffer in der Mitte auch 9 ist, so multiplizieren wir die Differenz der nächsten aufgerundeten Zahl, in diesem Fall 40 und bekommen das Ergebnis 984. Die Reihenfolge der Ziffern ist dann 9-8-4 und diese Reihenfolge subtrahieren wir dann auf der ersten von dem Stschoty dargestellten Ziffer, so haben wir das Ergebnis 974,16.

Multiplikation mit mehrstelligen Zahlen

Wir haben oben schon einige Tricks betrachtet und alle oben genannten Beispiele haben bestimmte Regeln, die man anwenden kann. Manchmal kommen andere Zahlen vor und keine der oben genannten Regel trifft zu. Doch in der Mehrheit der Rechnungen kann man mit wenig Veränderung einen einfacheren Rechenweg finden. Fast jede Zahl kann man zu diesen Beispielen führen. Wenn es dann doch nicht gehen sollte, kann man auch einen anderen Trick finden. Wenn wir zwei Zahlen multiplizieren müssen, müssen wir zuerst überlegen, welche der Zahlen der Multiplikator sein soll, also welche Zahl so umgestaltet werden kann, um die bekannten Tricks der Multiplikation anzuwenden. In dem Beispiel 4,26 x 331 multiplizieren wir jetzt die Zahlen mit Hilfe der Addition. Zuerst suchen wir den Multiplikator aus. In diesem Fall ist es die 331 weil wir die Zahl als Summe 330+1 betrachten können 4,26x331=4,26x(330+1)= (4,26x330)+(4,26x1). Das bedeutet wir müssen 4,26 x 330 nach den oben gezeigten Regeln rechnen und zum Ergebnis noch einmal 4,26 dazu addieren.
Die Multiplikation mit 330 ist uns schon bekannt, das ist die Multiplikation mit gleichen Ziffern, deshalb 4,26 im Kopf um 100 multiplizieren auf dem Stschoty darstellen 426 und dann mit 3 multiplizieren. So haben wir als Ergebnis 1278. 4,26 x 30 ergibt 1/10 und damit rechen wir noch einmal 127,8 dazu und haben das Ergebnis 1.405,8 und damit das Ergebnis der ersten Klammer und dann noch einmal 4,26 dazu zählen und das Endergebnis ist 1.410,06.

Bei folgender Aufgabe rechnen wir 232 x 1,47. In diesen Fall ist es bequemer 1,47x232 zu rechnen, da wir die 232 als 222+10 nehmen können. 1,47x232=(1,47x222)+(1,47x10) Mit dem Stschoty multiplizieren wir die 1,47 mit zwei, das Ergebnis wird eine Reihe höher dazu addiert und dann noch einmal eine Reihe höher dazu addiert und dann ist das Ergebnis 326,34. Dann im Kopf 1,47x10 also 14,7 dazu zählen und so haben wir das Endergebnis 341,04.

Bei der Aufgabe 2,71x38 ist es hier besser die 38 als Multiplikator zu betrachten und ihn als 40-2 zu sehen. 2,71x38=(2,71x40)-(2,71x2). Zuerst multiplizieren wir 2,71x40 so haben wir 108,40 und dann substrahieren wir 2x 2,71 und das Ergebnis 102,98.

In diesem Fall 628 x4,34 ist es einfacher die 628 als Multiplikant zu betrachten und den Multiplikator die Zahl 4,34 da die 4,34=4,44-0,1 ist und damit die Rechnung 628x4,34=628x(4,44-0,1)-(628x4,44)-(628x0,1) lautet. Mit dem Stschoty multiplizieren wir 628x4,44 und haben als Ergebnis 2.788,32 und dann subtrahieren wir 62,8 und dann haben wir das Ergebnis 2.725,52

Jetzt betrachten wir die Multiplikation mit der Anwendung der Division. Die Tricks mit den Zahlen wurden schon von uns besprochen. Diese Tricks sind die Tricks der Multiplikation in Kombination mit der Division da die 25 ein Viertel von 100 und die 250 von tausend und die 125 ein Achtel von tausend sind. Das bedeutet statt die Zahl mit 25 zu multiplizieren, sie mit 100 zu multiplizieren und dann in zwei Hälften aufzuteilen usw. Bei der Anwendung der Division im Multiplikationsprozess müssen wir daran denken, daß wenn ein Multiplikator einer Zeile mit der Ziffer 5 endet, ist es einfacher mit 10 zu rechen und dann zu halbieren.

Ein weiteres Beispiel 3,280x3,85. Zuerst verdoppeln wir 3,85 und bekommen 7,70. 3,28x7,7 so haben wir 25,256. Dieses Ergebnis müssen wir halbieren so haben wir als Ergebnis 12,628.

Mithilfe einiger Handlungen müssen wir 481 mit 5,24 multiplizieren. In diesem Beispiel nehmen wir als Multiplikator die 481 und betrachten die Zahl als Summe und Differenz. 5,24x481=5,24x(500-20+1)=(5,24x500)-(5,24x20)+(5,24x1). Mit dem Stschoty multiplizieren wir 5,24 mit 500 das ergibt 2.620. Danach substrahieren wir 2 x 52,4, das bedeutet 5,24x20 so haben wir als Ergebnis 2.515,2 zu dieser Zahl addieren wir 5,24, so haben wir als Ergebnis 2.520,44.

Das nächste Beispiel ist 1.549 x 7,38. Als Multiplikator nehmen wir die 1.549 und betrachten den Multiplikator als 1.549=1.000+550-1 Die Zahl 7,38 werden wir zuerst mit 550 multiplizieren und haben als Ergebnis 4.059 dazu 7,38x1.000 damit haben wir 11.439 und dann substrahieren wir 7,38 und das Endergebnis lautet 11.431,62

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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